（算法）N皇后问题

题目：

八皇后问题：在8 X 8的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能相互攻击，即任意两个皇后不得处于同一行，同一列或者同意对角线上，求出所有符合条件的摆法。

思路：

1、回溯法

数据结构：

由于8个皇后不能处在同一行，那么肯定每个皇后占据一行，这样可以定义一个数组A[8]，数组中第i个数字，即A[i]表示位于第i行的皇后的列号。

满足条件：任意两个皇后不同列，即A[i]!=A[j]，任意两个皇后不在同一对角线上，即abs(i-j)!=abs(A[i]-A[j])。

算法：

回溯法，通过深度遍历的形式枚举数组A的所有排列组合，并通过剪枝的形式（判断是否满足上述的条件）来减少不必要的计算量，详见代码。

2、全排列法

思路与字符串排列一样http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/4655485.html，只是还需要对每一种排列做判断。

数据结构:

8个皇后不能处在同一行，那么肯定每个皇后占据一行，这样可以定义一个数组A[8]，数组中第i个数字，即A[i]表示位于第i行的皇后的列号，先把数组A[8]分别用0-7初始化。

满足条件：由于我们用0-7这7个不同的数字初始化数组，因此任意两个皇后肯定也不同列，那么我们只需要判断每个排列对应的8个皇后中是否有任意两个在同一对角线上即可，即对于数组的两个下标i和j，如果i-j==A[i]-A[j]或i-j==A[j]-A[i]，则认为有两个元素位于了同一个对角线上，则该排列不符合条件。

思路：

参考字符串排列:

求整个字符串的排列，可以分成两步：首先求所有可能出现在第一个位置的字符，即把第一个字符和后面的所有字符交换；然后固定第一个字符，求后面所有字符的排序。此时仍把后面的字符看成两部分，第一个字符和后面的字符，然后重复上述步骤。（递归）

然后判断每一种排列是否满足上述添加即可。

代码：

1、回溯法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <stdlib.h>

using namespace std;
int count=0;

bool canPlace(int index,const vector<int> &result){
    for(int i=0;i<index;i++){
        if(result[index]==result[i] || abs(index-i)==abs(result[index]-result[i]))
            return false;
    }
    return true;
}

void queen(int index,vector<int> &result,int N){
    if(index==N){
        for(int i=0;i<N;i++)
            cout<<result[i]<<" ";
        cout<<endl;
        count++;
        return;
    }
    for(int i=0;i<N;i++){
        result[index]=i;
        if(canPlace(index,result))
            queen(index+1,result,N);
    }
}


int main()
{
    int n=8;
    vector<int> result;

    for(int i=0;i<n;i++)
        result.push_back(i);
    queen(0,result,n);
    cout<<count<<endl;
    return 0;
}

2、全排列法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <stdlib.h>

using namespace std;
int count=0;

void swap(int *a,int *b){
    int tmp=*a;
    *a=*b;
    *b=tmp;
}

void queen_permutation(vector<int> &result,int index,int len){
    bool can=true;
    if(index==len-1){
        for(int i=0;i<len;i++){
            for(int j=i+1;j<len;j++){
                if(i-j==result[i]-result[j] || i-j==result[j]-result[i]){
                    can=false;
                    break;
                }
            }
            if(can==false)
                break;
        }
        if(can){
            for(int i=0;i<len;i++)
                cout<<result[i];
            cout<<endl;
            count++;
        }
    }
    else{
        for(int i=index;i<len;i++){
            swap(result[index],result[i]);
            queen_permutation(result,index+1,len);
            swap(result[index],result[i]);
        }
    }
}


int main()
{
    int n=8;
    vector<int> result;

    for(int i=0;i<n;i++)
        result.push_back(i);
    queen_permutation(result,0,n);
    cout<<count<<endl;
    return 0;
}